三角形的中线和中位线是三角形中的两条重要线段，也是初中几何中两个易混的概念。

(资料图)

一、考点精讲精练

考点1、三角形、分类

例1、三角形是( )

A、连接任意三点组成的图形;B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形;

C、由三条线段组成的图形;D、以上说法均不对 。

例2、如图所示，以BC为边的三角形共有( )

例题2图

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

例3、下列说法正确的有( )

①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;

③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④

例4、若三角形三边之比为3：4：5，周长为 24，则三角形的三边分别为 ?

例5、△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长。

举一反三：

1、三角形按边分类可分为( )

A、等腰三角形和等边三角形;B、钝角三角形、锐角三角形和直角三角形;

C、等腰三角形和不等边三角形;D、等边三角形和不等边三角形 。

2、一位同学用三根木棒拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )

第2题图

A、① B、② C、③ D、④

3、三角形的周长为12，且三边a,b,c有如下关系a=b+1,b=c+1,则a,b,c的长分别为多少?

4、△ABC周长为120，已知CB比CA长28，CB比AB短4，求三边长各为多少?

5、已知△ABC的周长为38cm.最长边与最短边之差为7cm，最长边与最短边之和为27cm，求△ABC各边的长。

考点2、三角形的高、中线、角平分线：

例1、如图，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB=36，AC=24，则△AMN的周长是( )

例题1图

A、60 B、66 C、72 D、78

例2、三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(　 　)

A、中线 B、角平分线 C、高线 D、中位线

例3、如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC="3" cm，BC="4" cm，AB="5" cm，则点C到AB的最短距离等于 cm。

例题3图

例4、如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数。

例题4图

例5、如图，AD为△ABC的中线,

(1)作△ABD的中线BE;

(2)作△BED的BD边上的高EF;

(3)若△ABC的面积为60，BD=10，则点E到BC边的距离为多少?

例题5图

举一反三：

1、钝角三角形的内心在这个三角形的( )

A、内部　 B、外部 　C、一条边上 D、以上都有可能

2、如图,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,则∠BOC=_________。

第2题图

3、如图，在△ABC 中，BC = 5 cm ，BP , CP 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，且 PD∥AB，PE∥AC ，则 △PDE的周长是?

第3题图

4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)中作出∠ABC的平分线后，求∠BDC的度数。

第4题图

5、如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且 S△ACB =4，则 S△BEF 的值为多少?

第5题图

考点3、三角形三边关系

例1、长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( )

A、4 B、5 C、6 D、9

例2、a、b、c为三角形的三边长，化简：|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，结果是( )

A、0 B、2a+2b+2c C、4a D、2b-2c

例3、已知一个三角形的三边长都是整数，且其中两条边长分别为21和2002，则这样的三角形共有______个。

例4、已知a,b,c是△ABC的三边，a,b满足|a-4|+(b-2)²=0,c为奇数，求△ABC的周长 ?

例5、如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC>1/2 (AB+BC+CA)

例题5图

举一反三：

1、若△ABC的周长为20，则AB的长可能为( )

A、8 B、10 C、12 D、14

2、三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是( )

A、3

3、△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有___个。

4、已知三角形三条边分别为a+4,a+5,a+6,求a的取值范围。

5、已知a，b，c分别为△ABC的三边长且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6 ;

(1)求c的取值范围;(2)若△ABC的周长为18，求c的值 。

考点4、三角形的稳定性

例1、如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )

例题1图

A、两点之间直线段最短 ; B、矩形的稳定性;C、矩形四个角都是直角 ; D、三角形的稳定性

例2、如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )

例题2图

A.A、C两点之间 ; B.E、G两点之间 ; C.B、F两点之间 ; D.G、H两点之间 。

例3、如图，6根钢管交接成六边形钢架ABCDEF，要使钢架稳定且不能活动，最少还需 根钢管。

例题3图

例4、工人师傅要将边长为4m和3m的平行四边形框架固定，现有下列长度的木棒，在木棒的两端钉上达到固定平行四边形的目的，不符合要求的是( )

A、2m B、3m C、4m D、8m

例5、如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接。

例题5图

要求：

(1)在图(1)、(2)中分别加适当根竹条，设计出两种不同连接方案;

(2)通过上面的设计，可以看出至少需再加几根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用?

(3)在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是什么?

举一反三：

1、如图.小王爸爸用四根木条钉成一个平行四边形木架，要使木架不变形，他至少要钉上木条的根数为( )

图(1)

A、0 根 B、1根 C、2根 D、3根

2、在现实的生产、生活中有以下四种情况：

①用“人”字梁建筑屋顶; ②自行车车梁是三角形结构;③用窗钩来固定窗扇; ④商店的推拉防盗铁门。

其中用到三角形稳定性的是( )

A、①② B、②③ C、①②③ D、②③④

3、下列图形中，不具有稳定性的是( )

第3题图

4、六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法.(只需画图，不必写出作法)

第4题图

参考答案:

考点1、三角形、分类

例1、B　 例2、C 例3、C

例4、设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2

∴三角形的三边是6，8，10

例5、试题解析：设AC边长为xcm，则AB边长为(x+2)cm，BC边长为x，

根据题意，得x+(x+2)+x=22，

解得x=8，

∴x+2=10， x=4，

即AB=10cm，BC=4cm，AC=8cm.

举一反三：

1、D 2、D

3、因为a+b+c=12

所以 b+1+b+b-1=12，3b=12 ， b=4

因为a=b+1,b=c+1 所以a=5 c=3

4、解：设CB=x，则CA=x-28，AB=x+4.依题意，得

x+x-28+x+4=120，解得 x=48，

则CB=48，则CA=x-28=48-28=20，AB=x+4=48+4=52，

答：三边长各为48、20、52.

5、

第5题图

考点2、三角形的高、中线、角平分线：

例1、A　例2、A

例3、

图(3)

例4、

图(4)

例5、

图(5)

举一反三：

1、A 2、115° 3、5cm

.4、解：(1 )

①一点B为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F;

②分别以点E、F为圆心，以大于 1/2 EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG角AC于点D即可;

图(1)

图(2)

5、

图(5)

考点3、三角形三边关系

例1、C 例2、A

例3、∵2002-21=1981， 2002+21=2023，

∴1981<第三边<2023，

2023-1981-1=41，

即这样的三角形共有41个.

故答案为：41.

例4、a-4=0,a=4, b-2=0,b=2

∵2

周长=4+2+3=9 或周长=4+2+5=11

例5、证明：∵△ABO中，OA+OB>AB，

同理，OA+OC>CA，OB+OC>BC.

∴2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA，

∴OA+OB+OC>1/2 (AB+BC+CA)。

举一反三：

1、A 2、D

3、解：设另两边是x，y，那么x<7，y<7，且x+y>7，并且x，y都是整数.

不妨设x≤y，满足以上几个条件的x，y的值有：1，7;2，6;3，5;4，4;6，3;2，7;4，5;4，6;5，5;7，3;4，7;5，6;5，7;6，6;6，7;7，7共有16种情况.

4、解：易得：a+4

所以，只需满足条件：a+4+a+5>a+6 a>-3

5、

图(5)

考点4、三角形的稳定性

例1、D　例2、B 例3、 3 .例4、D

例5、解：(1)如图所示：(答案不唯一)

例题5图

(2)至少要三根;(3)三角形的稳定性。

举一反三：

1、B 2、C 3、B

4、如图所示.