导数是微积分中的重要基础概念，大家对于高中导数常用公式了解多少呢？为此小编为大家推荐了一些高中导数公式，欢迎大家参阅。

导数的定义

当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率).

(资料图)

函数y=f(x)在x0点的导数f"(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f"(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。如果在(a，b)内，f"(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f"(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值

求导数的步骤

求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。

导数公式：

① C"=0(C为常数函数); ② (x^n)"= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1/X的导数 ③ (sinx)" = cosx; (cosx)" = - sinx; (tanx)"=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)"=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)"=tanx•secx (cscx)"=-cotx•cscx (arcsinx)"=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)"=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)"=1/(1+x^2) (arccotx)"=-1/(1+x^2) (arcsecx)"=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)"=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)"=hcoshx (coshx)"=-hsinhx (tanhx)"=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)"=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)"=-tanhx•sechx (cschx)"=-cothx•cschx (arsinhx)"=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)"=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)"=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)"=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)"=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)"=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)" = e^x; (a^x)" = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)" = 1/x(ln为自然对数) (logax)" =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)"=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)"=-x^(-2)

高中导数常用公式

1.y=f[g(x)],y"=f"[g(x)]•g"(x)『f"[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g"(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y"=u"v-uv"/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y"=1/x"

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y"=e^x和y=lnx y"=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3.y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y"=e^x。

4.y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y"=1/x。

这时可以进行y=x^n y"=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y"=e^nlnx•(nlnx)"=x^n•n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

6.类似地，可以导出y=cosx y"=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y"=[(sinx)"cosx-sinx(cos)"]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y"=[(cosx)"sinx-cosx(sinx)"]/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x"=cosy

y"=1/x"=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x"=-siny

y"=1/x"=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x"=1/cos^2y

y"=1/x"=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x"=-1/sin^2y

y"=1/x"=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

导数的应用

1.函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想. 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f"(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f"(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f"(x)=0，则f(x)是常数函数. 注意：在某个区间内，f"(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f"(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f"(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤(不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言?1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域; ②求导数; ③由(或)解出相应的x的范围.当f"(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数;当f"(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数.

2.函数的极值

(1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点; ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.

3.求函数极值的步骤

①确定函数的定义域; ②求导数; ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根; ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

4.函数的最值

(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念. (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值; ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

5.生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题.

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